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Experimentos: Mecânica (1)

Olá pessoal! Venho hoje trazer mais três idéias que podem ser encontradas em muitos livros, e que muita gente já conhece, mas não custa nada relembrar. Vou experimentando fora do blog e dentro dele minhas idéias, e espero que sejam úteis de alguma maneira.

1º – Quantidade de Movimento (ou Momento Linear)

A primeira experiência envolve o conceito de quantidade de movimento, ou momento linear. Essa grandeza na física é definida como o produto entre a massa de um corpo e sua velocidade (, usa-se tanto q quanto p), e é uma grandeza vetorial. Ela é muito útil na resolução de problemas envolvendo colisões principalmente. Quem nunca jogou uma partida de bilhar? ( o popular sinuca!). Pois é, é óbvio que ninguém vai ficar medindo as massas das bolinhas no  meio do jogo, nem ficar com uma régua no meio da mesa… Mas ainda assim podemos ver a física envolvida no processo. Tomemos o exemplo abaixo:

Figura 1 – Colisão de duas bolas de sinuca.

Na Figura 1 acima, vemos a bola branca batendo em uma bola vermelha. Isso é um exemplo simples de uma colisão. Este tipo de problema é analisado usando a conservação da quantidade de movimento, quantidade de movimento total no início da análise deve ser igual à quantidade de movimento no final da análise, para um sistema isolado. Sistema isolado é o sonho de consumo dos físicos, é um ambiente sem atrito, nem perdas de energia por nada, seria um ambiente perfeito.

No caso de cima, a análise inicial seria a bola branca, de massa m1, se movendo com velocidade v1 em direção à vermelha, que está parada. A análise final seria as duas bolas se movimentando, a bola branca com velocidade v1′ e a bola vermelha, de massa m2, com velocidade v2′. A relação entre essas grandezas é dada por:

Aqui temos uma breve explicação de como se analisar problemas envolvendo conservação da quantidade de movimento.

O experimento em si é uma coisa muito simples. Consiste em duas bolas, uma grande, de preferência uma bola de futebol, ou de vôlei, e uma bola bem menor, tem algumas de borracha que funcionam bem. O que tem de ser feito é colocar a bola menor em cima da bola maior e soltar as duas bolas no ar. Ao bater no chão, a bola maior quica empurrando também a bola menor, que quica muito mais alto. Isso ocorre devido à massa da bola menor ser muito pequena em relação à bola maior.

Figura 2 – Experimento de colisões

2º – Queda Livre

Este experimento é talvez mais conhecido ainda que o anterior, e também mais simples. Consiste em provar que a queda livre dos corpos não depende da massa. Ou seja, um objeto mais leve que outro cai ao mesmo tempo.

Isso pode ser mostrado utilizando um livro grande de preferência, pode ser até uma agenda telefônica, e uma folha de papel.

Primeiro solte o livro e a folha de papel da mesma altura, separados um do outro.

Figura 3 -Queda livre: livro e folha de papel separados.

Depois disso, solte os dois novamente, mas dessa vez colocando a folha de papel em cima do livro.

Figura 4 – Queda livre: livro e folha de papel juntos.

No primeiro caso, a folha de papel cai mais lentamente, devido à resistência do ar, enquanto que no segundo caso os dois objetos caem ao mesmo tempo. Isso mostra que um corpo mais pesado não vai cair mais rápido do que um corpo mais leve. Esse efeito também pode ser visto quando amassamos a folha de papel para fazer uma bola pequena, e ficamos treinando basquete em nossas cestas de lixo!

3º – Conservação e Transformação da Energia Mecânica

Este é um experimento que nunca fiz ainda, mas que já presenciei mais de uma vez. Consiste na análise da transformação da energia mecânica, de potencial para cinética. São feitas duas rampas, uma reta e outra curva. De cada uma delas soltamos bolinhas, idênticas, ao mesmo tempo.

Figura 5 – Rampas: Reta e Curva.

Qual das duas bolinhas chega primeiro no final da rampa?

Por incrível que possa parecer, dessa vez não é a bolinha que percorre o caminho mais curto que chega primeiro, ou seja, não é a bolinha da rampa reta. As duas bolinhas tem energias iniciais iguais, pois estão ambas paradas, e na mesma altura. Porém, a bolinha da rampa curva “cai” mais rápido, fazendo com que sua energia potencial seja transformada mais rápido em energia cinética. Assim, ela aumenta sua velocidade mais rapidamente no início do movimento. Mas é importante lembrar que no final da rampa, ambas têm a mesma velocidade, pois devem obedecer à Conservação da Energia Mecânica.

Luiza Gottschalk

Olá pessoal. Estarei postando com o tempo respostas comentadas por mim das provas de vestibulares diversos.

Espero que seja de grande utilidade para todos.

Por enquanto estarei disponibilizando o link para as questões de física da prova de Conhecimentos Gerais da Fuvest 2010.

Resolução Fuvest 2010 – Conhecimentos Gerais – Física

Esses links também poderão ser encontrados na barra lateral

Aceito sugestões de questões de quem quiser

Física no cotidiano!

Muitas pessoas nao gostam de física, e não conseguem entender como alguns “doidos”  ainda tentam entender esta matéria no colégio, e pior ainda são os mais “malucos” que insistem em continuar com isso depois do colégio! Muitos problemas levam ao desinteresse da física, principalmente a forma de ensino, no meu ponto de vista. Uma das coisas que escutei muito de meus colegas na época do colégio e até hoje de alguns de meus alunos é que a física não é vista na prática, na vida de cada um de nós. E de certo modo, é verdade. Claro que a física está presente no dia a dia de cada um, mas estamos condicionados a não enchergá-la. Hoje pretendo escrever sobre coisas do cotidiano onde podemos ver a física em ação!

1 – Portas

Alguém já parou para pensar o porquê das maçanetas estarem onde elas estão e não em outro lugar? Creio que a maioria de vocês já viu algum dos filmes de Senhor do Anéis, então, porque as maçanetas de nossas portas não ficam bem no meio, como as portas das casas dos hobbits, aquelas criaturas pequeninas? Claro que para eles, a estética deve ter falado mais alto, afinal a porta deles era redonda! Nossas portas são retangulares, e então, a maçaneta está onde está por acaso?

De jeito nenhum! Tentem abrir ou empurrar uma porta usando o lado contrário da maçaneta, bem perto da parede. Fica muito mais difícil. E ai está nossa amiga física para explicar o porquê disso. Ao se aplicar uma força sobre um objeto, podem ocorrer duas coisas: ou ele é movido de sua posição inicial, ou ele é rotacionado, girado, de sua posição inicial. No caso da porta, ao empurrarmos um de seus lados, nós a rotacionamos. A rotação de um objeto pode ser descrita e analisada fisicamente pelo torque. O torque é uma grandeza que depende da força aplicada ao objeto e ao braço de alavanca. Eu sei, pode estar confuso, mas abaixo trago uma figura para poder exemplificar o que estou dizendo.

Está ai um brinquedo que todo mundo já viu na vida. O braço de alavanca é a distância entre o círculo (ponto de apoio) da figura e o local onde a criança senta. Quanto maior esse braço de alavanca, mais fácil para as crianças brincarem, porque fica mais fácil rotacionar a gangorra. Claro que também depende do peso da criança, eu mesmo não conseguia ficar lá em cima, era sempre o mais pesado da turma =(. Então pessoal, a porta funciona da mesma forma, uma coisa simples mas que também envolve física.

2 – Rampas

Por que é mais fácil subir por uma rampa do que por uma escada? Rampas são feitas muitas vezes para pessoas com dificuldade de locomoção, como algumas pessoas idosas por exemplo. O fato de ser mais fáil subir em uma rampa do que em uma escada é tão intuitivo que nem sequer pensamos o porquê disso ser verdade.

Para subirmos uma escada, precisamos levantar o pé a cada passo. Dessa forma, precisamos fazer esforço contra a gravidade diretamente. Para subirmos uma rampa, não precisamos levantar o pé a cada passo, de forma que o esforço que fazemos não é diretamente contrário à gravidade. É uma questão vetorial. Podemos ver melhor com o auxílio de algumas figuras:

Figura 1

Figura 2

A Figura 1 mostra uma pessoa subindo uma escada. Ao lado da escada podemos ver que a força necessária para levantar o pé deve ser igual à força da gravidade. Já na rampa, figura 2, ao lado podemos ver que apenas parte da força gravitacional atrapalha o movimento, pois ao subir pela rampa, a pessoa vai arrastando o pé, de forma que a força normal (força que a rampa exerce sobre o pé) ajuda a compensar a força gravitacional. E ai está o porquê de pessoas com dificuldade de locomoção fazerem menos esforço ao subir uma rampa.

3 – Centro de gravidade

Alguém já tentou se levantar de uma cadeira sem jogar o corpo para frente, ou seja, mantendo o corpo  ereto? Não dá! Podem tentar. O problema todo está no centro de gravidade do corpo humano. A maior parte de nossa massa (lembrem-se: massa é diferente de peso!) está distribuída na parte superior de nosso corpo, do quadril para cima. Logo, ao levantarmos de uma cadeira, precisamos jogar o corpo para frente, obtendo assim um equílibrio, que nos possibilita ficar de pé.

É esse tal de centro de massa que também nos possibilita criar um brinquedo como esse:

Para quem não conhece, essa águia de brinquedo se equilibra apenas pelo bico. Isso se deve ao fato de ela ter pesos equivalentes em suas asas, deslocando seu centro de massa para a ponta do bico. Por isso que ela consegue ficar equilibrada desse jeito, pois o equilíbrio depende da posição do centro de massa.

E aí, alguém já conseguiu levantar da cadeira sem jogar o corpo para frente?!?!

4 – Canudos

Engraçado que conseguimos beber facilmente qualquer líquido com o auxílio de um canudo. Será que temos um poder tão grande de sugar líquidos? Será que alguém conseguiria beber algum líquido usando um cano em vez de um canudo?

O que sugamos no canudo não é o líquido e sim o ar contido entre o líquido e nossa boca. Com isso, há uma diminuição na pressão interna do canudo, possibilitando que a pressão atmosférica empurre o líquido de fora para dentro, como no esquema a seguir:

Para que ocorra isso é necessária a sucção do ar e a vedação do canudo pela boca. Esse efeito só é possível porque o canudo é fino, se tentarmos a mesma coisa com um cano mais grosso, nao daria certo.

E por hoje é só, esses são fenômenos físicos de nossos cotidianos que me lembro no momento. Espero que todos possamos exercitar muito mais o porquê de tudo.

Estou aqui para colocar o primeiro experimento do blog. É um experimento simples, rústico, que já realizei em sala de aula. Apresenta resultados imprecisos, mas é bem didático e acho eficiente para o uso com os alunos.

O objetivo do experimento é o cálculo do índice de refração da água. O material necessário para se realizar o experimento é apresentado a seguir:

– Pedaço de madeira em forma de quadrado, com aproximadamente 12 cm de lado.

– Vasilhame que caiba o pedaço de madeira, de preferência retangular.

– Prego.

– Régua.

– Algum instrumento para riscar ou marcar a madeira.

Bem, o tamanho do pedaço de madeira é arbitrário, mas creio que um tamanho de 12 cm não é muito grande nem muito pequeno. Primeiro, devemos fazer uma circunferência perfeita, de raio aproximado de 10 cm (novamente lembrando que este tamanho é arbitrário), no centro do quadrado de madeira, desenhando dois eixos que se cruzam no centro da circunferência, e paralelos aos lados do quadrado. Em seguida, preencher com água o vasilhame até uma altura igual ao raio da circunferêcia. Esse esquema é mostrado na figura abaixo:

Figura 1

É isto que você deve obter ao realizar os procedimentos acima. Agora vamos ao experimento em si. Para continuar, colocamos o prego em algum ponto da parte de baixo da circunferência e mergulhamos exatamente a metade de baixo da circunferência na água do vasilhame. As figuras seguintes mostram isso:

Figura 2

Figura 3

A Figura 2 mostra o quadrado dentro do vasilhame, e a Figura 3 mostra o esquema do experimento visto de frente. É importante lembrar que o nível de água deve estar o mais próximo do diâmetro horizontal da circunferência.

Para uma pessoa enxergar o prego de cima do vasilhame, deve sair um raio de luz do prego, passar pela água, depois pelo ar até chegar ao olho do observador, como é mostrado na Figura 3. O observador deve fazer uma marcação na parte de cima da circunferência no ponto exato onde ele deixa de enxergar o prego, obstruindo a visão com o marcador da madeira (um lápis por exemplo). Dessa forma, tem-se dois triângulos retângulos imaginários, um de lado L e hipotenusa R e o outro de lado L’ e hipotenusa R. A partir das medidas de L e L’ o índice de refração pode ser encontrado.

A dedução é apresentada abaixo:


Figura 4

Os ângulos i e r são respectivamente os ângulos de incidência e de refração.

A partir dos dois triângulos, algumas relações trigonométricas podem ser deduzidas:

Usando a Lei de Snell: (Índice de refração do ar: n1 = 1. Índice de refração da água: n2)

Usando as relações trigonométricas:

Esse resultado mostra que o cálculo do índice de refração não depende do tamanho do raio da circunferência.

Com isso, basta medirmos com o auxílio de uma régua os valores das distâncias L e L1 para encontrarmos o índice de refração da água, que tem o valor aproximado de 1,33, com a água à temperatura ambiente, de 20°C. Uma dica importante é tentar observar o prego por um ângulo bem inclinado.

Até o próximo experimento.

O teslescópio espacial Spitzer, da NASA, é um telescópio que usa tecnologia criogênica e detecta ondas eletromagnéticas na faixa do infravermelho. É um telescópio satélite, ou seja, se localiza em órbita no espaço. Foi construido com bases sólidas de conhecimento sobre outros dois telescópios semelhantes de mesma função, o Satélite Astronômico Infravermelho (em inglês: IRAS, InfraRed Astronomical Satellite) e o Observatório Espacial Infravermelho (em inglês: ISO, InfraRed Space Observatory). O Spitzer apresentou até hoje ótimos resultados em relação a outros satélites precursores de mesmo tipo, tanto na obtenção de imagens como na espectroscopia de raios infravermelhos, sendo aplicado amplamente na atualidade.

Para os mais curiosos, a história desse satélite e de outros, bem como explicações sobre suas funções, podem ser encontradas no site da NASA:

http://www.spitzer.caltech.edu/

Neste post, mostrarei uma reportagem que foi publicada na UOL Ciência e Saúde, mas é original do site do Spitzer da NASA.

Imagem da NASA de asteróide captado pelo Spitzer.

“Nova pesquisa feita pela Nasa com ajuda do telescópio Spitzer revela que a diversidade de asteroides próximos da Terra é maior do que se pensava. Como um doce cheio de chocolates e confeitos, esses asteroides vêm em cores e formatos sortidos. Alguns são escuros e sem brilho, enquanto outros são brilhantes e luminosos.

As observações do Spitzer está ajudando os astrônomos a compreender melhor os objetos próximos da Terra, já que suas propriedades físicas ainda são pouco conhecidas. “Essas pedras nos ensinam sobre o local de onde elas vieram”, explica David Trilling, da Universidade do Arizona do Norte, principal autor de estudo publicado este mês no “Astronomical Journal”.

Após quase seis anos de operações, o Spitzer entrou, no ano passado, foi colocado em uma temperatura mais amena (embora ainda bem gelada), de – 243º C. Uma das novas missões da sonda é ajudar a catalogar 700 asteroides próximos da Terra. Cem já foram pesquisados. Os 600 restantes devem ser analisados até o fim do ano que vem. Há aproximadamente 7.000 asteroides conhecidos próximos da Terra.

Os dados indicam que alguns dos objetos menores refletem enorme quantidade de luz solar. Uma vez que a superfície dos asteroides fica mais escura com o tempo, devido à exposição a rediação solar, a presença de superfícies mais luminosas pode indicar que o objeto é mais jovem.

O fato de que a diversidade dos asteroides é maior do que se esperava indica que eles podem ter origens diferentes. Alguns podem ter vindo do cinturão que fica entre Marte e Júpiter, enquanto outros podem ter surgido de fora do Sistema Solar.”

Na reportagem original da NASA, eles chegam a comparar esse monte de asteróides “coloridos” a uma pinhata (brincadeira onde se pendura um recipiente cheio de doces para crianças quebrarem e se deliciarem!). Pois é, físico tem imaginação fértil!

Começando finalmente os assuntos de física, resolvi escrever um pouco sobre ciência em si. É uma palavra muito comum hoje em dia, amplamente usada, mas nem sempre foi assim. Então, reflito sobre duas perguntas: O que é ciência? Qual sua origem?

Muitas pessoas definem a ciência como um “corpo de conhecimento”, ou o conhecimento propriamente dito. Mas o termo ciência não exprime exatamente essa idéia. A História nos mostra em muitos episódios que um conhecimento de uma civilização, quando para de ser desenvolvido, deixa de ter um caráter científico. Os conhecimentos de uma época podem ser os absurdos de uma outra e são substituídos por novos. Muitas civilizações antigas basearam seus conhecimentos em histórias, que mais tarde passaram a ser mitos, daí surgiram as mitologias. Mas a partir de mitos que surgiram os primeiros pensamentos científicos, na busca por explicações plausíveis sobre a realidade.

Mas ao mesmo tempo em que conhecimentos do passado podem vir a ser absurdos no futuro, são esses absurdos que levam à novas explicações mais bem elaboradas. Os cientistas, ou homens que buscam o saber, utilizam informações de pesquisadores de tempos atrás para desenvolverem seus novos raciocínios. E isso se torna frequente na história da humanidade. Foram muitos erros e acertos de muitos pensadores do passado, assim como pensamentos de hoje podem ser descartados amanhã, para dar lugar a novas teorias mais bem formuladas. E assim a ciência vai se revelando. Exemplo mais fácil dessa idéia é um bebê, que em suas primeiras observações começa a distinguir as coisas e o comportamento das pessoas ao seu redor, mas não consegue discernir de imediato o que pode lhe fazer bem mal. A partir de erros cometidos por ela, o conhecimento em sua mente vai sendo formado a partir de novas descobertas.

Uma das necessidades que mais motivaram a humanidade à produzir conhecimentos foi a indagação do existir. É natural de todas as civilizações que passaram se perguntaram o porque da existência, e assim foram-se criando explicações para as “coisas” do mundo. A partir disso, vê-se que a ciência não pode ser definida apenas como o conhecimento, mas como a produção do conhecimento. Idéias estáticas, que não são atualizadas, que não crescem ou que não estão sendo feitas não podem conter atributos científicos.

Definida a ciência então, como um processo, quando o processo começou?

Obviamente, o termo ciência não foi usado desde o início dos tempos. No entanto, estudos antropológicos indicam que o processo de produção do conhecimento começou desde os “homens das cavernas”, que dependia dos animais que matava para se alimentar. Alguns tinham a crença que o simples fato de representar o animal em desenhos, sendo morto, diminuiria sua força. Dessa forma, foram-se desenvolvendo figuras cada vez mais elaboradas e detalhadas dos animais e seus movimentos.


Desenhos de bisão com flechas no coração, do final do período Paleolítico. Caverna de Maux em Ariège, França, 25000 A.C.

Nos trópicos, onde os dias não eram encurtados nem alongados devido à posição do Sol e a Terra, a forma mais natural de contagem do tempo era observando as fases da lua. Até hoje existem resquícios desses traços na relação entre as palavras lua(em inglês: moon) e mês (em inglês: month, anteriormente escrita como mooneths), e também nas semanas que representam as quatro estações da lua e suas mudanças, totalizando um mês, de 28 dias (semana em inglês é week, que pode ser comparada com a palavra alemã Wechsel = mudança).

Quando o homem começou a habitar regiões de estações mais bem definidas, onde foi possível a plantar, foi necessária a criação de um calendário que indicasse os momentos certos de plantar e colher. Assim, foram observadas relações entre os movimentos das estrelas e do Sol, e consequentemente, das estações do ano. A agricultura foi a primeira ocupação do homem que levou ao acúmulo de conhecimento e à processos de generalização desse conhecimento.

Campos de agricultura necessitavam de ferramentas para o trabalho, sendo desenvolvida assim a tecnologia. A Idade da Pedra passou a ser a Idade dos Metais. A extração de minérios e a produção de metais culminaram no desenvolvimento de conhecimentos específicos. Inundações do rio Nilo forçaram os antigos egípcios a fazerem anualmente uma nova demarcação de terra entre a população. Assim nasceu a geometria (literalmente medida da terra). O sacrifício em nome de divindades, e o estudos dos corpos das vítimas levaram à estudos do corpo humano. Estes processos precederam práticas científicas conhecidas hoje como metalurgia, matemática e anatomia, respectivamente.

Quanto mais complexas foram ficando as sociedades humanas, mais se desenvolveu o conhecimento, surgindo das necessidades de cada época e moldado pelas experiências práticas. Desde as primeiras invenções e descobertas, como o fogo e a roda, o homem vem definindo o que chamamos hoje de ciência, o processo que constrói o saber. Muitos dos  “cientistas” iniciais permanecem desconhecidos na História, mas suas contribuições foram a base sólida para a ciência do presente.

A estrofe abaixo é apresentada como reflexo da realidade de todo cientista, de qualquer época, que desenvolve o conhecimento sabendo que um dia suas idéias serão ultrapassadas ou refinadas.

“Reader, thou that passest by,
As thou art so once was I
As I am so shalt thou be
Wherefore, reader, pray for me”

“Leitor, tu que segues adiante,
Como tu és eu já fui
Como eu sou agora tu serás
Portanto, leitor, reze por mim”

Moral da mensagem: a ciência não pára!

Referência:

SINGER, Charles, “A Short History of Scientific Ideas To 1900”, emitido pela Universidade de Oxford, Oxford, 1972.

Conhecido hoje em dia nas escolas e fora delas pelo seu famoso teorema que envolve grandezas de um triângulo retângulo, Pitágoras é uma figura deveras misteriosa da história. Desde sua origem, datada entre 592 e 570 a.C., até sua morte, datada entre 497 e 469 a.C., histórias fantasiosas rodeiam sua biografia, dificultando saber ao certo quais foram os caminhos percorridos por este grande filósofo. Além do tão conhecido teorema de Pitágoras, muito conhecimento foi desenvolvido por ele.

Uma breve biografia:

É normalmente afirmado que Pitágoras nasceu na ilha grega de nome Samos (em grego: Σάμος), em uma época que viveram grandes líderes de povos e religiosos pelo mundo, como Gautama Buddha, fundador do budismo, Zaratustra, grande profeta da Pérsia antiga, Confúcio e Lao Tsé, grandes filósofos chineses. Sua mãe desde cedo se devotou à sua educação e desde criança Pitágoras era considerada uma criança prodigiosa. Teve diferentes professores, dentre eles se destacando Tales de Mileto, outro grande estudioso grego da geometria.  Fez várias peregrinações quando jovem obtendo diversos conhecimentos de diferente lugares, inclusive tendo contato com Zaratustra, só voltando a Samos com 56 anos. Obteve muitos discípulos devido a seus grandes conhecimentos mas porém foi expulso pelo tirano de Samos na época, Polícrates. Se refugiou na ilha de Crotona, na então Magna Grécia, atual Itália, onde fundou seu instituto.  A história de sua morte também é controversa, de um lado Pitágoras pode ter morrido devido a um incêndio provocado em seu instituto, junto com o restante de seus alunos, enquanto, por outro lado, diz-se que escapou do incêndio e tomou caminhos incertos.

Entre as tantas histórias, o que se sabe de fato são os conhecimentos de grande importância deixados por esta figura. Pitágoras teve grande influência no desenvolvimento da matemática em sua época e principalmente depois de sua época, pois foi ele quem desatrelou o estudo da matemática à problemas práticos e começou a desenvolver matemática a partir de estudos de equações e teorias. Repleto de seguidores, fundou sua escola, quase como uma seita secreta, e seus discípulos foram posteriormente designados de pitagóricos. Não era permitida a documentação de nenhum tipo de conhecimento na época em que Pitágoras viveu, por isso a grande dificuldade de se obter uma verdade sobre sua história. Ele influenciou também a música, a qual associou à matemática, descobrindo a relação entre a altura do som de uma corda com o comprimento da mesma, e criou uma filosofia agregada a uma religião levando em consideração pensamentos matemáticos sobre o número. Os pitagóricos eram tão fixionados pelos números que consideravam haver uma ligação única em todas as coisas do universo determinada por relações numéricas. Os elementos dos números eram considerados elementos da realidade e eram atribuídos significados especiais a eles, principalmente aos dez primeiros.

O número 1 representava a razão, pois era inalterável;
O número 2 representava o masculino;
O número 3 representava o feminino;
O número 4 representava a justiça, pois era o primeiro produto de dois números iguais ( 2 x 2 = 4 );
O número 5 representava o casamento, a união do primeiro número
masculino com o primeiro número feminino ( 2 + 3 = 5).

Estes números de 1 a 5 receberam significados assim como vários outros. Os pitagóricos porém davam grande importância aos números inteiros, encaravam-nos como os modelos das coisas. Em consequência disso, o estudo dos números fracionários foi ignorado.

A religião criada por Pitágoras foi camuflada em meio às lendas da então religião politeísta predominante da época, mas ele acreditava que todo ser passava por muitas reincarnações até que pudesse se desvencilhar do invólucro da alma, o corpo, para chegar a um estado de espírito próximo da divindade. Por este motivo não comiam carne, pois acreditavam que as almas também reincarnavam em animais. Os pitagóricos foram considerados os primeiros vegetarianos.

Mas enfim, quais foram as grandes contribuições de Pitágoras para a matemática em si?

A mais importante de todas e a mais conhecida por todos é o Teorema de Pitágoras do Triângulo Retângulo, enunciado da seguinte forma:

O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados de seus catetos.

Esta propriedade do triângulo retângulo foi utilizada de forma prática muito antes de Pitágoras, principalmente em construções na produção de ângulos retos. Usando-se uma corda com 12 nós e fincando 3 estacas no chão é possível construir um ângulo reto como é mostrado na figura abaixo:

Coloca-se uma estaca “A” a três nós de uma estaca “B”, e uma estaca “C” a quatro nós de “B”. Ligando estas estacas com uma corda, obtêm-se  um ângulo reto. Este é o mais conhecido triângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5. Obtêm-se desse procedimento prático a relação “5² = 4² + 3²”, assim como “10² = 8² + 6²” e “15² = 12² + 9²”, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Alguns estudos afirmam que este método foi usado até pelos egípcios na construção das pirâmides, assim como em problemas encontrados em antigas escavações da babilônia, por volta de 1800 a.C., mas foi Pitágoras quem fez a formulação matemática pela primeira vez, elaborando um Teorema matemático. Pode-se ver o Teorema ilustrado geometricamente a seguir:


O triângulo de lados 3, 4 e 5 ficou tão conhecido que até hoje é muito utilizado seu símbolo na forma:

Um grande problema encontrado por Pitágoras foi calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1. Pelo Teorema de Pitágoras, o valor da hipotenusa deveria ser igual a . Os pitagóricos não conseguiram encontrar uma solução para isso, e números que não fossem inteiros não eram considerados perfeitos. Vários triângulos retângulos apresentaram valores de hipotenusas semelhantes a no sentido de não poderem ser calculados. Foram então considerados números “irracionais”, denominados assim até hoje.

Entre outas descorbertas matemáticas atribuídas aos pitagóricos estão:

-> A classificação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares, amigos, perfeitos e figurados;

-> O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum;

-> Que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos;

-> Se um polígono tem n lados, então a soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n – 4) ângulos retos.

Pitágoras foi além de um grande matemático, um homem histórico, ou até mesmo lendário, cercado de mistérios. Não apenas viveu como estudioso da matemática, mas atrelou vários valores de sua vida aos números, principalmente suas crenças. Foi um dos maiores pensadores da época e a partir dele muitos conhecimentos foram desenvolvidos.

Para terminar esta postagem coloco aqui algumas de suas frases:

“Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem”.

“Ajuda teus semelhantes a levantar sua carga, mas não a carregues”.

“O que fala, semeia. O que escuta, recolhe”.

“Todas as coisas são números”.

“Pensem o que quiserem de ti; fazes aquilo que te pareces justo”.

“Educai as crianças e não será preciso punir os homens”.

(Pitágoras)

Os primeiros sistemas de contagem de que se tem notícias, descobertos na região hoje conhecida como Oriente Médio, levaram em consideração a idéia mais simples, juntar traços correspondentes às quantidades.

Este sistema logo foi substituído, devido à dificuldade de contar números muito grandes. Um dos sistemasde numeração mais antigos veio da civilização egípicia, surgida por volta de 3200 A.C., que também consistia de traços, mas que trouxe novas figuras para representar quantidades baseadas em potências de dez.

Valor 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1 milhão, ou
infinito
Hieróglifo
Z1
V20
V1
M12
D50
I8

ou

I7
C11
Descrição Corda simples ou bastão Calcanhar Espiral de corda Nenúfar (Flor de Lótus) Dedo Indicador Girino
ou  Sapo
Homem com as
mãos erguidas

Cada hieróglifo possuia um significado diferente e um valor numérico diferente. Para escrever os números bastava-se agrupar as figuras nas quantidades corretas. Além do sistema básico de contagem os egípicios possuiam até mesmo símbolos próprios para frações e operações básicas.

Outros sistemas também surgiram no passado, como o tão famoso sistema de contagem romano, desenvolvido por volta do século VII A.C.,  hoje usado basicamente para contagem dos séculos.

Cada letra maiúscula do alfabeto romano, na representação acima, simbolizava um valor e, novamente, para se formar os números basta-se agrupar os símbolos dos valores correspondentes. Mas nesse caso há algumas observações. Não se podia repetir mais do que três vezes o mesmo símbolo.

Exemplos de alguns números são o 4 = IV, o 6 = VI, 7 = VII, 8 = VIII, 9 = IX, e assim por diante, seguindo esta mesma lógica. Vemos nestes exemplos algumas operações bem simples já sendo feitas. Um símbolo à esquerda de outro significava uma subtração, IV = 5 – 1 = 4, enquanto um símbolo à direita de outro significava uma adição, VII = 5 + 1 + 1 = 7.

Um outro sistema de contagem menos conhecido, mas também muito antigo, surgiu na China, na época da dinastia han, por volta de 200 A.C.

Os chineses mais tarde foram influenciados na matemática pelos árabes e hindus, e influenciaram regiões próximas como o Japão.

Vemos que estes três sistemas de numeração são sistemas decimais, ou seja, agrupavam os símbolos inicialmente de dez em dez, e posteriormente, de cem em cem e de mil em mil, potências de dez. Este processo de contagem surgiu do costume de contar com os dedos das mãos. Contavam-se todos os dedos das mãos e, quando terminavam os dedos, escolhia-se algo para representar aquela quantidade. Assim foram se agrupando os números de dez em dez.

Porém, pelo fato de usarem símbolos diferentes para grandes quantidades, fazer operações com esses sistemas de numeração era extremamente complicado. Eis então que surge, por volta do século VI, em outra região do mundo um sistema mais prático para operar números. Foi na Índia que surgiu um sistema também decimal, mas agora com valores posicionais, ou seja, não mais teriam símbolos para representar grandes quantidades, pois dependendo da posição o símbolo teria valores diferentes. Foram criados dez símbolos.

Estes são os símbolos que hoje correspondem aos nossos algarismos. Os hindus também criaram o número zero, que significaria o vazio, o nada. Foi inicialmente chamado pelos hindus de sunya, pelos árabes de tsifr, e pelos romanos de zephirum, dando origem ao que chamamos hoje de zero. O zero também foi encontrado na matemática dos maias, povo que viveu na América Central, surgindo inicialmente por volta de 2000 A.C.

Este sistema de numeração inovador ficou desconhecido até surgir a curiosidade de um matemática árabe que o estudou por muitos anos. Ele percebeu que este sistema de numeração era muito simples para realizar operações matemáticas e que todos deviam aprender, escrevendo assim um livro sobre a matemática hindu, e divulgando pelo mundo asiático e europeu. Os matemáticos da época conheceram os estudos do árabe. Os símbolos hoje representados por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 ficaram conhecidos como a notação de Al-Khowarizmi, o nome do sábio árabe que os divulgou, dando origem assim ao nome algarismo.

O sistema de numeração hindu sofreu diversas modificações até chegar nos algarismos que conhecemos hoje. São chamados de algarismos indo-arábicos pois foram desenvolvidos na Índia, pelo povo hindu, mas divulgados pelos árabes. E este é o sistema que usamos até hoje para operações na matemática.

Curiosidade: E de onde surgiu a hora com seus 60 minutos? De onde veio a dúzia?

Estas respostas são encontradas na mais antiga civilização conhecida, a Suméria, que povoou a região da mesopotâmia por volta de 3300 A.C. Os sumérios tinham dois sistemas de contagem, um com base 5, baseado na contagem dos dedos de uma das mãos, agrupando as quantidades de 5 em 5, usando os dedos da outra mão, e um outro sistema com base 12, baseado na contagem das falanges dos dedos de uma das mãos, onde o dedão era usado para auxiliar na contagem, e as quantidades eram agrupadas de 12 em 12 nos dedos da outra mão.

Foi desse sistema numérico desenvolvido pelos sumérios que surgiu a divisão das horas em 60 minutos e os minutos em 60 segundos. Foram também os sumérios os precursores do ábaco ao inventarem um mecanismo onde separavam pedras em colunas diferentes para realizar operações. Os sumérios também conheciam e uzaram o zero em seu sistema de numeração.

Basicamente, os sistemas de contagem até hoje conhecidos se basearam no uso dos dedos, a forma mais natural para começar a contar. Basta observamos que uma criança aprendendo as operações básicas, geralmente usa os dedos para aprender a contar. Os algarismos também são chamados de dígitos e tem origem na palavra “digitus”, que em latim significa “dedos”.

Olá pessoal!

Vou colocar o primeiro post no blog de interesse real. É um vídeo que foi passado para mim por e-mail. Achei muito interessante, e acho que se encaixa muito bem no contexto de alunos, e de qualquer pessoa que esteja aprendendo algo sobre alguma coisa ou sobre alguém.

Para selecionar a legenda em português, basta clicar em View subtitles.

É um pouco longo mas vale a pena ser assistido, não conhecia essa escritora africana, mas já virei fã!

Muito cuidado com as histórias únicas!

Até breve!

Olá a todos!

Este blog é destinado a assuntos relacionados à física diretamente e também a qualquer discussão científica interessante.

Sou estudante do curso de Bacharelado em Física, mas também gosto muito de lecionar, desde de o início do ano passado dou aulas em um cursinho popular de Campinas, São Paulo e tento aos poucos implantar uma forma de ensino de física diferente, com o envolvimento de experimentos.

Tentarei estar escrevendo constantemente para interesse de meus alunos e de quem mais estiver interessado e achar legal, sempre tentando passar algo e aprender muito!

Abraço a todos!