Category: Matemática


Conhecido hoje em dia nas escolas e fora delas pelo seu famoso teorema que envolve grandezas de um triângulo retângulo, Pitágoras é uma figura deveras misteriosa da história. Desde sua origem, datada entre 592 e 570 a.C., até sua morte, datada entre 497 e 469 a.C., histórias fantasiosas rodeiam sua biografia, dificultando saber ao certo quais foram os caminhos percorridos por este grande filósofo. Além do tão conhecido teorema de Pitágoras, muito conhecimento foi desenvolvido por ele.

Uma breve biografia:

É normalmente afirmado que Pitágoras nasceu na ilha grega de nome Samos (em grego: Σάμος), em uma época que viveram grandes líderes de povos e religiosos pelo mundo, como Gautama Buddha, fundador do budismo, Zaratustra, grande profeta da Pérsia antiga, Confúcio e Lao Tsé, grandes filósofos chineses. Sua mãe desde cedo se devotou à sua educação e desde criança Pitágoras era considerada uma criança prodigiosa. Teve diferentes professores, dentre eles se destacando Tales de Mileto, outro grande estudioso grego da geometria.  Fez várias peregrinações quando jovem obtendo diversos conhecimentos de diferente lugares, inclusive tendo contato com Zaratustra, só voltando a Samos com 56 anos. Obteve muitos discípulos devido a seus grandes conhecimentos mas porém foi expulso pelo tirano de Samos na época, Polícrates. Se refugiou na ilha de Crotona, na então Magna Grécia, atual Itália, onde fundou seu instituto.  A história de sua morte também é controversa, de um lado Pitágoras pode ter morrido devido a um incêndio provocado em seu instituto, junto com o restante de seus alunos, enquanto, por outro lado, diz-se que escapou do incêndio e tomou caminhos incertos.

Entre as tantas histórias, o que se sabe de fato são os conhecimentos de grande importância deixados por esta figura. Pitágoras teve grande influência no desenvolvimento da matemática em sua época e principalmente depois de sua época, pois foi ele quem desatrelou o estudo da matemática à problemas práticos e começou a desenvolver matemática a partir de estudos de equações e teorias. Repleto de seguidores, fundou sua escola, quase como uma seita secreta, e seus discípulos foram posteriormente designados de pitagóricos. Não era permitida a documentação de nenhum tipo de conhecimento na época em que Pitágoras viveu, por isso a grande dificuldade de se obter uma verdade sobre sua história. Ele influenciou também a música, a qual associou à matemática, descobrindo a relação entre a altura do som de uma corda com o comprimento da mesma, e criou uma filosofia agregada a uma religião levando em consideração pensamentos matemáticos sobre o número. Os pitagóricos eram tão fixionados pelos números que consideravam haver uma ligação única em todas as coisas do universo determinada por relações numéricas. Os elementos dos números eram considerados elementos da realidade e eram atribuídos significados especiais a eles, principalmente aos dez primeiros.

O número 1 representava a razão, pois era inalterável;
O número 2 representava o masculino;
O número 3 representava o feminino;
O número 4 representava a justiça, pois era o primeiro produto de dois números iguais ( 2 x 2 = 4 );
O número 5 representava o casamento, a união do primeiro número
masculino com o primeiro número feminino ( 2 + 3 = 5).

Estes números de 1 a 5 receberam significados assim como vários outros. Os pitagóricos porém davam grande importância aos números inteiros, encaravam-nos como os modelos das coisas. Em consequência disso, o estudo dos números fracionários foi ignorado.

A religião criada por Pitágoras foi camuflada em meio às lendas da então religião politeísta predominante da época, mas ele acreditava que todo ser passava por muitas reincarnações até que pudesse se desvencilhar do invólucro da alma, o corpo, para chegar a um estado de espírito próximo da divindade. Por este motivo não comiam carne, pois acreditavam que as almas também reincarnavam em animais. Os pitagóricos foram considerados os primeiros vegetarianos.

Mas enfim, quais foram as grandes contribuições de Pitágoras para a matemática em si?

A mais importante de todas e a mais conhecida por todos é o Teorema de Pitágoras do Triângulo Retângulo, enunciado da seguinte forma:

O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados de seus catetos.

Esta propriedade do triângulo retângulo foi utilizada de forma prática muito antes de Pitágoras, principalmente em construções na produção de ângulos retos. Usando-se uma corda com 12 nós e fincando 3 estacas no chão é possível construir um ângulo reto como é mostrado na figura abaixo:

Coloca-se uma estaca “A” a três nós de uma estaca “B”, e uma estaca “C” a quatro nós de “B”. Ligando estas estacas com uma corda, obtêm-se  um ângulo reto. Este é o mais conhecido triângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5. Obtêm-se desse procedimento prático a relação “5² = 4² + 3²”, assim como “10² = 8² + 6²” e “15² = 12² + 9²”, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Alguns estudos afirmam que este método foi usado até pelos egípcios na construção das pirâmides, assim como em problemas encontrados em antigas escavações da babilônia, por volta de 1800 a.C., mas foi Pitágoras quem fez a formulação matemática pela primeira vez, elaborando um Teorema matemático. Pode-se ver o Teorema ilustrado geometricamente a seguir:


O triângulo de lados 3, 4 e 5 ficou tão conhecido que até hoje é muito utilizado seu símbolo na forma:

Um grande problema encontrado por Pitágoras foi calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1. Pelo Teorema de Pitágoras, o valor da hipotenusa deveria ser igual a . Os pitagóricos não conseguiram encontrar uma solução para isso, e números que não fossem inteiros não eram considerados perfeitos. Vários triângulos retângulos apresentaram valores de hipotenusas semelhantes a no sentido de não poderem ser calculados. Foram então considerados números “irracionais”, denominados assim até hoje.

Entre outas descorbertas matemáticas atribuídas aos pitagóricos estão:

-> A classificação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares, amigos, perfeitos e figurados;

-> O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum;

-> Que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos;

-> Se um polígono tem n lados, então a soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n – 4) ângulos retos.

Pitágoras foi além de um grande matemático, um homem histórico, ou até mesmo lendário, cercado de mistérios. Não apenas viveu como estudioso da matemática, mas atrelou vários valores de sua vida aos números, principalmente suas crenças. Foi um dos maiores pensadores da época e a partir dele muitos conhecimentos foram desenvolvidos.

Para terminar esta postagem coloco aqui algumas de suas frases:

“Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem”.

“Ajuda teus semelhantes a levantar sua carga, mas não a carregues”.

“O que fala, semeia. O que escuta, recolhe”.

“Todas as coisas são números”.

“Pensem o que quiserem de ti; fazes aquilo que te pareces justo”.

“Educai as crianças e não será preciso punir os homens”.

(Pitágoras)

Os primeiros sistemas de contagem de que se tem notícias, descobertos na região hoje conhecida como Oriente Médio, levaram em consideração a idéia mais simples, juntar traços correspondentes às quantidades.

Este sistema logo foi substituído, devido à dificuldade de contar números muito grandes. Um dos sistemasde numeração mais antigos veio da civilização egípicia, surgida por volta de 3200 A.C., que também consistia de traços, mas que trouxe novas figuras para representar quantidades baseadas em potências de dez.

Valor 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1 milhão, ou
infinito
Hieróglifo
Z1
V20
V1
M12
D50
I8

ou

I7
C11
Descrição Corda simples ou bastão Calcanhar Espiral de corda Nenúfar (Flor de Lótus) Dedo Indicador Girino
ou  Sapo
Homem com as
mãos erguidas

Cada hieróglifo possuia um significado diferente e um valor numérico diferente. Para escrever os números bastava-se agrupar as figuras nas quantidades corretas. Além do sistema básico de contagem os egípicios possuiam até mesmo símbolos próprios para frações e operações básicas.

Outros sistemas também surgiram no passado, como o tão famoso sistema de contagem romano, desenvolvido por volta do século VII A.C.,  hoje usado basicamente para contagem dos séculos.

Cada letra maiúscula do alfabeto romano, na representação acima, simbolizava um valor e, novamente, para se formar os números basta-se agrupar os símbolos dos valores correspondentes. Mas nesse caso há algumas observações. Não se podia repetir mais do que três vezes o mesmo símbolo.

Exemplos de alguns números são o 4 = IV, o 6 = VI, 7 = VII, 8 = VIII, 9 = IX, e assim por diante, seguindo esta mesma lógica. Vemos nestes exemplos algumas operações bem simples já sendo feitas. Um símbolo à esquerda de outro significava uma subtração, IV = 5 – 1 = 4, enquanto um símbolo à direita de outro significava uma adição, VII = 5 + 1 + 1 = 7.

Um outro sistema de contagem menos conhecido, mas também muito antigo, surgiu na China, na época da dinastia han, por volta de 200 A.C.

Os chineses mais tarde foram influenciados na matemática pelos árabes e hindus, e influenciaram regiões próximas como o Japão.

Vemos que estes três sistemas de numeração são sistemas decimais, ou seja, agrupavam os símbolos inicialmente de dez em dez, e posteriormente, de cem em cem e de mil em mil, potências de dez. Este processo de contagem surgiu do costume de contar com os dedos das mãos. Contavam-se todos os dedos das mãos e, quando terminavam os dedos, escolhia-se algo para representar aquela quantidade. Assim foram se agrupando os números de dez em dez.

Porém, pelo fato de usarem símbolos diferentes para grandes quantidades, fazer operações com esses sistemas de numeração era extremamente complicado. Eis então que surge, por volta do século VI, em outra região do mundo um sistema mais prático para operar números. Foi na Índia que surgiu um sistema também decimal, mas agora com valores posicionais, ou seja, não mais teriam símbolos para representar grandes quantidades, pois dependendo da posição o símbolo teria valores diferentes. Foram criados dez símbolos.

Estes são os símbolos que hoje correspondem aos nossos algarismos. Os hindus também criaram o número zero, que significaria o vazio, o nada. Foi inicialmente chamado pelos hindus de sunya, pelos árabes de tsifr, e pelos romanos de zephirum, dando origem ao que chamamos hoje de zero. O zero também foi encontrado na matemática dos maias, povo que viveu na América Central, surgindo inicialmente por volta de 2000 A.C.

Este sistema de numeração inovador ficou desconhecido até surgir a curiosidade de um matemática árabe que o estudou por muitos anos. Ele percebeu que este sistema de numeração era muito simples para realizar operações matemáticas e que todos deviam aprender, escrevendo assim um livro sobre a matemática hindu, e divulgando pelo mundo asiático e europeu. Os matemáticos da época conheceram os estudos do árabe. Os símbolos hoje representados por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 ficaram conhecidos como a notação de Al-Khowarizmi, o nome do sábio árabe que os divulgou, dando origem assim ao nome algarismo.

O sistema de numeração hindu sofreu diversas modificações até chegar nos algarismos que conhecemos hoje. São chamados de algarismos indo-arábicos pois foram desenvolvidos na Índia, pelo povo hindu, mas divulgados pelos árabes. E este é o sistema que usamos até hoje para operações na matemática.

Curiosidade: E de onde surgiu a hora com seus 60 minutos? De onde veio a dúzia?

Estas respostas são encontradas na mais antiga civilização conhecida, a Suméria, que povoou a região da mesopotâmia por volta de 3300 A.C. Os sumérios tinham dois sistemas de contagem, um com base 5, baseado na contagem dos dedos de uma das mãos, agrupando as quantidades de 5 em 5, usando os dedos da outra mão, e um outro sistema com base 12, baseado na contagem das falanges dos dedos de uma das mãos, onde o dedão era usado para auxiliar na contagem, e as quantidades eram agrupadas de 12 em 12 nos dedos da outra mão.

Foi desse sistema numérico desenvolvido pelos sumérios que surgiu a divisão das horas em 60 minutos e os minutos em 60 segundos. Foram também os sumérios os precursores do ábaco ao inventarem um mecanismo onde separavam pedras em colunas diferentes para realizar operações. Os sumérios também conheciam e uzaram o zero em seu sistema de numeração.

Basicamente, os sistemas de contagem até hoje conhecidos se basearam no uso dos dedos, a forma mais natural para começar a contar. Basta observamos que uma criança aprendendo as operações básicas, geralmente usa os dedos para aprender a contar. Os algarismos também são chamados de dígitos e tem origem na palavra “digitus”, que em latim significa “dedos”.